INTEGRACIÓN POR PARTES

Es una técnica de integración basada en la regla del producto para la derivación. En particular, si u(x) y v(x) son funciones derivables de x, entonces 

                                              

Integrando ambos lados de esta ecuación con respecto a x, se obtiene

porque u(x) v(x) es una antiderivada de d/dx [u(x) v(x)]. Ademas, esta formula integral se puede escribir de forma mas compacto como:  

A la ecuación

 

se le llama Formula de Integración por partes. El gran valor de esta formula es que, si podemos hallar funciones u y v de modo que una integral determinada 

 se pueda expresar en la formula

 entonces tenemos:

.

Una forma de entender de una manera mas fácil este tipo de integración es siguiendo los siguientes pasos:

EJEMPLOS

• Encuentre el área de la región limitada por la curva y=ln x,el eje x y las lineas x=1 y x=e.
  

Solución: La región se muestra en la figura, el área esta dada por la integral definida

Para evaluar esta integral usando la integración por partes, considere ln x dx como (ln x)(1dx) y utilice

Ejemplo Aplicado en la Administración

• Joyce esta considerando una inversión de 5 años y estima que dentro de t años la inversión estará generando un flujo continuo de ingresos de 3000+50t dolares por año. Si la tasa prevaleciente de interés anual permanece fija en un 4%, y es capitalizada continuamente durante los 5 años, ¿Cual es el valor de la inversión en 5 años?

Solución: El "valor" de la inversión de Joyce se mide como el valor futuro del flujo de ingreso en el termino de 5 años. Recuerde que el flujo de ingresos depositado continuamente a una tas f(t), en una cuenta que gana interés a una tasa anual r, capitalizada continuamente por un termino de T años, tiene un valor futuro VF dado por la integral:

Para esta inversión, se tiene f(t)=3000+50t, r=0.004 y T=5 de modo que el valor futuro esta dado por la integral:

 Por lo tanto, en 5 años, la inversión de Joyce valdrá aproximadamente $17.274

• A CONTINUACIÓN TE MOSTRARE ALGUNOS EJEMPLOS, CON SU DEBIDO PROCEDIMIENTO